[공학수학 1] part A - 적분인자
완전상미분 방정식(Exact ODE)의 형태와 유사하지만 완전상미분방정식의 해법으로는 풀리지 않는 경우가 있다. 즉, u라는 함수의 미분 형태에서 연속성을 가정하여 dx성분을 y로 편미분한 것과 dy성분을 x로 편미분한 것이 같지 않은 경우가 있다는 것이다.
그런데 위와 같이 동일하지 않을 때, 양변에 어떠한 값을 곱해주면 완전상미분 형태가 되는 경우가 있다. 형태는 우변이 0인 전미분 형태이었기 때문에 p의 y에 대한 편미분 값과 q의 x에 대한 편미분 값만 같으면 된다. 이 값을 적분 인자라고 부르며 FP = M,FQ = N이 되는 것이다.
참고로, F는 적분형태인데다 우변이 자연지수함수이므로 항상 0이상이어야 한다. 그런데 절댓값 기호나 적분상수가 전혀 없는데, 이는 적분상수가 자연지수함수의 승수에 있으므로 e^c * e^x처럼 상수가 곱으로 표현된다. 또한 F가 음수일 수도 있지만 이 +나 -자체도 +1 및 -1이 곱해진 것이라고 생각한다면 역시 적분상수형태가 포괄할 수 있다. 그런데 F에 곱해진 상수는 F가 양변에 동시에 곱해지는 것이므로 어차피 약분이 되어, 완전상미분방정식을 만드려는 목적에는 의미가 없다. 따라서 위의 표기에는 그런것들이 없는 것이다.
증명 및 풀이=> 식을 그냥 암기하면 금방 잊어버리지만.. ∂FP / ∂y = ∂FQ / ∂x라는 것을 기억하면 좋다!
핵심은 적분인자 F를 곱하면 M의 편미분과 N의 편미분 값이 같아지는, 완전상미분방정식이 된다는 것이다.
또한 단순화를 위해 F를 하나의 변수로만 이루어진 함수로 취급하여 식 전개를 단순화 해야 한다.
여기까지가 가장 위에서 보았던 R(x)를 구하는 과정이다.
빨간글씨로 적었듯이, 적분상수는 무시할 수 있다. 어차피 양변에 곱하는 과정에서 사라진다.
참고사항:
적분인자 (integrating factor) F를 직관적으로 암기하는 방법은 다음과 같을 것이다.
M = FP, N = FQ라는 점을 기억한다면, 완전미분방정식인 경우 F = 1이 된다. 즉, R에서 P와 Q의 편미분이 0이 되면 완전상미분 방정식이 된다는 점을 염두해둔다면 P를 y에 대해 편미분을 해야하는 건지 x에 대해 편미분을 해야하는 건지 헷갈리지 않을 수 있다. (당연히 P는 y에 대해 편미분해야한다. M을 y에 대해 편미분한 형태의 일반적인 형태이기 때문)
Reference:
KERYSZIG 공업수학 10판 상