회로이론1 - 직류 2차회로
2차회로는 2개의 에너지 저장요소(커패시터 및 인덕터)를 모두 포함하는 회로(2차 회로 (ktword.co.kr))를 말합니다. 에너지 저장 소자가 여러개 있기 때문에 모델링한 식이 2차 미분식으로 직류 1차 회로의 경우보다 복잡합니다. 이 2차회로의 경우 응답은 고유응답과 강제응답의 합으로 구할 수 있고, 이 응답을 구함으로써 회로를 해석합니다.
<고유응답>
고유응답은 과도기간만 존재하고 시간이 경과함에 따라 소멸하는 응답, 소자의 초기값이 반영되어 나타나는 응답을 의미합니다.(고유 응답 (ktword.co.kr)) 2차 회로에 대한 묘사방정식은 y''+ay'+by = f(t)의 형태인데, 이때 입력을 나타내는 앞 식의 우변 f의 값이 0으로 만들었을 때의 응답 y값을 고유응답이라고 합니다.
구하는 방식은 특성 방적식을 통해 구합니다. 이때 고유응답의 형태는 다양합니다. 그 중 한가지를 보겠습니다.
y''+5y'+4y = f인 경우 특성방정식은 S^2+5S+4=0, S=-1,-4로 실근 두개가 나오고 이 경우에는 고유응답의 형태는 Ke^st의 형태이므로 고유응답 y(t) = k1e^-t + k2e^-4t가 됩니다.
만약 위의 특성방정식이 중근이 나왔다면 k1e^st + k2te^st가 됩니다. 근의 공식을 풀다보면 또 어떤 경우는 해가 복소수가 나오는 경우가 있습니다. 이 경우도 두 개의 실근이 나왔을 때와 같이 Ke^st를 하나의 응답으로 놓고 고유응답은 각각의 응답의 합으로 표현하면 되는데 식을 정리할때 오일러 공식을 이용하여 자연지수 형태의 식의 표현을 삼각함수를 이용해서 정리해줍니다. 다음과 같이 표현됩니다.
<강제응답>
강제응답은 묘사방정식을 그대로 풀면 나오는 응답을 말합니다. 이때 응답은 입력 f와 f의 미분치들의 선형합의 형태입니다. 푸는 방식은 아래 예시를 보면 간단합니다.
# 묘사방정식 y'' + 5y' + 4y = 2t인 경우 강제응답 구하기
1. yf = At + B로 가정 후 식에 대입(yf는 강제응답의 표기입니다. f는 첨자표기)
2. 0 + 5A + 4At + 4B = 2t가 되므로 A=1/2, B=-5/8
3. 강제응답 yf = 1/2t-5/8
<완전응답>
완전응답은 고유응답과 강제응답의 합입니다. 따라서 완전응답, 즉 2차회로의 최종적인 회로는 별도의 해석이 필요하지는 않습니다. 따라서 예제를 바로 보겠습니다.
우선 초깃값을 먼저 찾아보도록 하겠습니다.
t = 0-일때 회로의 스위치가 열린상태입니다. 또한 인덕터는 short, 커패시터는 open된 상태입니다. 따라서 이떄 회로의 0-시점에서의 V(0)값은 25, i(0)값은 -1/2입니다.
다음으로 t=0+일때를 보겠습니다. 이때는 스위치가 닫혀있으므로 전원에 의한 전류가 스위치 우측으로는 가지 않습니다. 즉, 강제응답을 구하려는 소자의 회로에는 아래처럼 전원이 없는 회로가 됩니다.
위의 회로는 각 소자들이 병렬 연결된 단순 병렬 회로입니다. 따라서 KCL를 적용하여 묘사방정식을 세울 수 있습니다.
전원은 없기 떄문에 묘사방정식은 0 = i + V/50 + Cdv/dt가 됩니다. 이를 미분하면 0 = i' + 1/50 * v' + C * v''가 됩니다.
여기서 i는 인덕터에 흐르는 전류입니다. 따라서 인덕터의 소자 특성식을 이용하면 묘사방정식은 결국 V'' + 1000V' + 125000V = 0으로 정리가 됩니다. 이를 강제응답은 애초에 전원이 없기 떄문에 0이고 고유응답을 구할 때도 입력이 이미 0이므로 묘사방정식을 바로 풀면 구해집니다.
따라서 V'' + 1000V' + 125000V = 0을 풀면 고유응답은 V = k1e^-146t + k2e^-854t가 되고 이는 곧 완전응답입니다.
나머지는 위에서구했던 초기값과, 그 초깃값을 또 V'' + 1000V' + 125000V = 0에 대입하여 구한 V'(0)을 고유응답식에 0을 넣어 k1, k2를 구하면 응답을 완전하게 구할 수 있게 됩니다.
문제 및 내용은 [회로이론] #8.5 미방을 풀자, 강제응답, 완전응답 - YouTube, [회로이론문제풀이] 예제8 6 - YouTube를 참고하였습니다.