공업수학 1
코시-오일러 방정식(Cauchy–Euler equation or Euler–Cauchy equation)
growbigger
2023. 3. 4. 14:06
코시 오일러 방정식은 다음과 같습니다.
공업수학에서는 n = 2정도를 다룹니다. 아래와 같고, 편의상 x^2y''의 계수는 1로 유지하겠습니다. 만약 1이상의 값이 곱해져 있다면 해당 값을 나누어 1로 맞추겠습니다.
이런 경우 풀이는 상수 계수만을 갖는 ODE와 상당히 유사합니다. y를 특정 값의 형태로 두고 대입하여 특성방정식을 구하는 것입니다. 특성방정식이 값는 해의 형태에 따라 기저와 일반해를 구하는 매커니즘도 동일합니다.
이제 특성방정식에 따라 일반해는 다음과 같이 구합니다.
역시 중근일 때는 하나의 기저를 알고 있을 때의 ODE문제가 되고, 복소근을 가질때는 오일러공식을 사용해주어 답을 정리해주면 됩니다. 특정적으로는 중근에서는 상수계수 경우와 달리 기저에 x가 아닌 lnx가 곱해진 꼴이고, 복수근일 때는 삼각함수 안이 x대신 lnx인 점과 e^(실수부)*x가 아닌 x^(실수부)의 형태인 점입니다.
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