[공학수학 1] part C - 비제차 2계 ODE 미정계수법

다시 회로이론에서의 상황을 생각해보겠습니다. 회로이론1 - 직류 2차회로 (tistory.com)의 내용을 상수계수에서 한 번 본적있습니다. 다만 실제로는 상수계수는 이번 비제차 2계 ODE를 푸는 과정 중 하나의 파트입니다. 따라서 실제로는 직류 2차회로의 modeling된 부분은 이번 내용과 직접적인 연관이 있습니다. 
 
회로에서 전원이스위치에 의해 끊기고 이 회로에는 에너지 저장 소자 2종류가 모두 있습니다. 따라서 전원을 끊어도 바로 회로에 모든 전기장이 소멸하지 않고 전류가 일정 시간 동안 흐르게 됩니다. 이럴때는 시간이 충분히 흐른 후 와 지금 당장의 잔류하는 전류를 따로 분리하여 생각해볼 수 있습니다. 즉 고유응답과 강제응답을 나누어 각각 구하고 합하는 것입니다. 
 
아래의 이미지를 보겠습니다. 우변이 이제 0이 아닌, non-homogeneous 방정식입니다. 이때 일반해는 yh + yp의 합으로 구하게 되는데 yh는 고유응답, 즉 우변의 r(x)를 없다고 보고 homogenous한 방정식을 풀어나온 일반해입니다. yp는 r(x)의 영향을 고려한 해입니다.  

homogeneous한 방정식을 푸는 방식은 상수계수만 있는 ODE같이 기존의 homogeneous방정식을 푸는 방법을 그대로 이용하면 됩니다. yp의 이제 yf라고 부르기로 하고(강제응답의 약자를 따서) yf를 r(x)의 선형합으로 두고 풀면 됩니다. 선형합이란 예를 들어  r(x)가 x^2+3x+2같은 다차함수라면 yf = ax^2 + bx + c라고 두는 것입니다. 만약 e^2라면 Ae^2라고 두면 되고, 삼각함수 sin(x)나 cos(x)라면 Asin(x) + Bcos(x)라고 두면 됩니다. 이렇게 yf를 가정했다면 기존의 식에 대입해주면 문제는 금방 풀립니다. 
 

단, yh를 구할 때 기저가 r(x)와 겹칠 수도 있습니다. 이럴 때는  yf에 x를 곱해주면 됩니다. 왜냐면 강제응답 yf는 좌변의 식에 넣었을때 좌변이 0이 되어버리면 안되기 때문입니다. 강제응답을 구하려는 것 자체가 r(x)가 0이 아닌 non homogeneous이라는 것인데, 고유응답의 기저와 같아버리면 좌변이 그냥 0이 됩니다. 따라서 약간의 변형을필수적으로 해줘야합니다.  다음의 예시로 보여드리겠습니다.  

특성방정식이 매우 단순하니 고유응답은 바로 구할 수 있습니다.  

이 식의 강제응답을 r(x)의 선형합으로 구하려고 해보겠습니다. 당연히 좌변이 0이 되어버리는 상황을 이해하셨다면 넘어가셔도 좋습니다. 과정은 아래와 같습니다.