[공학수학 1] part C - 매개변수 변환법(variation of parameters)
바로 전에 다루었던 미정계수법은 제한적인 형태만 풀 수 있습니다. 따라서 비교적 일반적인 풀이에 사용할 수 있는 방식이 필요합니다. 이 보다 더 일반적인 풀이가 매개변수 변환법입니다.
풀이는 공식화하면 다음과 같습니다.
위의 공식은 원래 yp를 구할 때 yp가 yh의 기저를 이용하는 yp = c1y1 + c2y2의 형태를 갖는다는 점을 이용합니다. 여기서 c1과 c2를 u와 v로 표현을 바꾸고, u′y1+v′y2=0의 조건을 만족하는 경우에 대해
u′y1 + v′y2 = 0 --- (1)
u′y′1 + v′y′2 = r(t) ---(2)
유도과정
아래의 일반적인 비제차 2계 ODE를 생각해볼 수 있다.
yp는 yh의 기저에 어떠한 parameter를 곱한 것들의 선형합으로 표현될 수 있다. 그 형태는 yp = c1y1 + c2y2와 같은데, yp도 2계 ODE이므로 이 yp를 다시 위의 ODE에 대입하고자 하는 것이다. 그러기 위해 아래와 같이 y, y', y''를 구할 수 있다.
단 여기서 u'y1 + v'y2 = 0을 가정한다.
이후, ODE에 대입하면 아래와 같다. 역시 제차 ODE의 기저를 이용해 yp를 표현하다보니 대부분이 정리과정에서 0이 되어 사라진다.
위와 같은 식을하나 구했고 위에서 하나의 관계를 가정했으므로 두개의 식을 얻을 수 있다. y1과 y2는 제차 ODE를 풀며 구한 값이므로 이 매개변수 u, v를 구해야하는데, 그 관계식을 구한 것이다. 따라서 두 연립방정식을 풀면 u', v'를 구할 수 있다. (행렬에 익숙하다면 cramer's rule을 이용하다면 간단하다.)
매개변수 변환법 - 공돌이의 수학정리노트 (angeloyeo.github.io)