[공학수학 1] part A 참고 - 해의 존재성

해의 존재성의 증명은 공학수학의 범위를 넘어가지만, 공학수학에서 이 존재정리(existence theorem)을 이용하는 문제가 있습니다.

이론 자체는 간단하게 말해서 IVP라고 하는 초깃값 문제인 상황에서 이 초깃값의 x값과 y값(x0, y0하고 하면 y(x0) = y0의 형태로 초기값이 주로 주어집니다.)의 근방에 대해 f가 연속이고 f가 실수로 주어지면 해가 최소한 한개는 있다는 것입니다. 그러니까 기울기가 무한한 함수는 안되겠죠. 물론 기울기가 무한이면 보통 연속하지도 않을 것입니다. 

 

예를 들어, (x-2y)y' = y, y(2) = 1이 해를 갖는지 보겠습니다.

이 미분방정식은 간단히 변수분리형으로 해결이 가능합니다. y=ce^(x-2)가 general solution입니다. 그런데 존재정리에서

y'의 조건을 조사하라고 하니 이를 살펴보면 (x-2y)y' = y이 식에서 (x-2)를 넘겨 y'를 explicit form으로 구하면 x-2가 분모로 들어갑니다. 초깃값을 x=2에서 주었는데 y'은 x=2에서 분명히 불연속입니다. 즉, 해가 존재한다는 것을 보장할 수 없습니다. 

 

이러한 식으로 간단하게 존재정리를 이해하고 적용하면 되겠습니다.