변수분리법, fourier급수의 사용(1)

열 전도 방정식을 이용하여 열의 전도에 관한 현상을 분석하는 방법으로 변수분리법이 있다. 

 

과정은 전반적으로 다음과 같다. 

1. u(x, t) = F(x)G(t)로 막대의 온도를 정의한다.  2. F, G함수에 대한 식을 구한다.  3. u(x, t)를 구한 F, G의 식을 대입하여 완성하고 상수항에 대한 식을 구한다.

이때, 초기 상태에 대한 조건과 상황에 대한 조건이 위의 전반적인 흐름을 따라가되, 약간의 다른 풀이가 나오게 된다. 

 

열의 전도가 기본적으로 막대에 대한 열의 전도를 상정한 것이며 막대의 긴 부분으로는 열이 방출되지 않음을 가정하고 다음의 상황이 존재한다. 

A) 양끝의 온도가 0인 경우

B) 전부 단열인 막대

C) 한쪽만 단열인 경우

이외에도 다양한 상황이 존재한다. 

 

이번 포스트에서는 A, B에 대해 풀이한다. 

 

A) 양끝의 온도가 0인 경우:

[조건]

경계조건: u(0, t) = u(L, t) = 0 초기조건: u(x, 0) = sin0.1πx

[풀이]

위의 전개는 일반적으로 다 비슷하다. 이제 상황마다 다른 조건을 이용하여 풀게 되면 아래와 같다. 

u(x, t) = F(x)G(t)에 경계조건을 이용하기 위해 x=0, x=L을 대입한다. 

이제 u에 대한 식을 구하였으므로 상수항 Cn에 대한 식만 구하면 된다. 

위의 식전개에서 f(x)를 봤을 때 푸리에 급수 없이 바로 형태를 보고 구하였다. sin안의 값을 보면 바로 c1, c2의 값들이 바로 정해질 수 있는 경우이다. 

 

B) 전부 단열이 된 막대:

[조건]

전부 단열인 막대이므로 공간 분포에 대해 온도 변화가 없는 조건이다.  따라서,  u_x(0, t), u_x(L, t) (x에 대해 미분한 것을 u_x로 표기하였음) f(x) = 1-x/π

[풀이]

여기까지는 A의 경우와 동일하다. 

여기에서 경계 조건이 미분에 대한 정보를 제공한 것이므로 u=FG를 미분한 후 x의 값을 대입하였다. 

람다의 값을 정의하였으므로 F, G를 구할 수 있고 u도 x, t의 식으로 표현할 수 있다.