공업수학 1 (18) 썸네일형 리스트형 [공학수학 1] part E - 복소행렬 복소행렬로 행렬에 대한 정리들을 일반화하면 더 다양한 상황을 처리할 수 있을 것입니다. 많은 경우 성립하기 떄문에 예를 들어 행렬 변환을 복소 행렬에 대해 하더라도 노름이나 내적값이 변하지 않아 행렬 변환을 적용할 수 있습니다. 참고로 내적 및 노름은 복소행렬에 대해 다음과 같이 표현됩니다. 전치하는 것까지는 동일하고 공액복소수를 곱하는 것만 다릅니다. [복소행렬] 복소행렬의 특징적인 행렬 형태는 실수와 동일하게 세가지의 특수한 형태를 가집니다. 사실 복소 행렬로 일반화 된 것이라고 볼 수 있고, 허수부가 0인 경우 실수 행렬에서와 동일합니다. 다음은 복소행렬의 고유값에 대한 정리입니다. hermitian은 고유값이 실수, skew-hermitian은 순허수 또는 0, unitary는 절댓값이 1입니다. [공학수학 1] part E - 행렬의 고유 기저, 대각화 1. 서로 다른 고유값 2. 유사행렬 3. 대각화 4. 2차 형식(quadratic form) [공학수학 1] part D - 디랙델타함수 [디렉델타 함수 정의] [디랙델타함수 라플라스 변환 공식 유도] [참고사항] [공업수학1] - determinant, cramer's rule(행렬식, 크라메르 법칙) [공학수학 1] part A 참고 - 해의 존재성 해의 존재성의 증명은 공학수학의 범위를 넘어가지만, 공학수학에서 이 존재정리(existence theorem)을 이용하는 문제가 있습니다. 이론 자체는 간단하게 말해서 IVP라고 하는 초깃값 문제인 상황에서 이 초깃값의 x값과 y값(x0, y0하고 하면 y(x0) = y0의 형태로 초기값이 주로 주어집니다.)의 근방에 대해 f가 연속이고 f가 실수로 주어지면 해가 최소한 한개는 있다는 것입니다. 그러니까 기울기가 무한한 함수는 안되겠죠. 물론 기울기가 무한이면 보통 연속하지도 않을 것입니다. 예를 들어, (x-2y)y' = y, y(2) = 1이 해를 갖는지 보겠습니다. 이 미분방정식은 간단히 변수분리형으로 해결이 가능합니다. y=ce^(x-2)가 general solution입니다. 그런데 존재정리에서.. [공학수학 1] part D - 라플라스 변환(+ 제2이동정리, 디랙델타함수) [2/2] 앞선 포스팅에서 라플라스 변환과 제 1이동정리를 봤습니다. 기본 개념은 미분방정식을 풀기위한 하나의 테크닉 같은 것이었습니다. 그리고 제 1이동정리는 변환하려는 대상 함수 f에 e^at의 형태가 곱해져 있을때 라플라스 변환이 함수의 이동같은 형태로 이동되는 것이었습니다. 이번에는 제 2이동정리와 디랙델타함수에 대해 다룹니다. 제 2이동정리 제 1이동정리는 대상 함수 f에 e^at형태가 곱해진 꼴에 대해 해결하는 방식이었습니다. 그런데 라플라스 변환이 된 결과 함수 F(s)에도 e^as형태의 자연지수함수가 곱해져 있을 수 있습니다. 제 2이동정리는 이러한 상황을 해결하기 위한 방법입니다. 여기서 단위 계단 함수라는 것을 알아야 하는데, 왜냐하면 결과적으로 F(s) * e^as형태가 되려면 라플라스 변환을 .. [공학수학 1] part D - 라플라스 변환(기본 개념 및 제1 이동정리) [1/2] 라플라스 변환은 미분방정식을 해결하는 방식 중 하나입니다. 풀이과정은 독특하고 기존의 방식들보다 더 다양한 미분방정식을 풀 수 있습니다. 기본적인 개념은 간단합니다. t>=0인 범위에 대해 f(t)를 F(s)로 변환하는 것입니다. 이 변환 자체도 독특하긴 하지만 간단한데, 그 형태는 다음과 같습니다. 즉, e^-st를 풀려고 하는 미분방정식에 곱한 후 양의 실수 범위에 대해 정적분을 수행해주는 것입니다. 이렇게 미분방정식을 라플라스 변환을 해준 후 식을 잘 정리해서 다시 역변환 해주면 원하는 것, 즉 해를 구할 수 있게 됩니다. 몇 가지 변환 예시를 보겠습니다. 일반화를 하면 위와 같이 나옵니다. 암기할 수도 있고 암기해 두었다가 기억이 안나면 직접 적분을 수행하면 됩니다. Example 아래의 예제는 .. [공학수학 1] part C - 매개변수 변환법(variation of parameters) 바로 전에 다루었던 미정계수법은 제한적인 형태만 풀 수 있습니다. 따라서 비교적 일반적인 풀이에 사용할 수 있는 방식이 필요합니다. 이 보다 더 일반적인 풀이가 매개변수 변환법입니다. 풀이는 공식화하면 다음과 같습니다. 위의 공식은 원래 yp를 구할 때 yp가 yh의 기저를 이용하는 yp = c1y1 + c2y2의 형태를 갖는다는 점을 이용합니다. 여기서 c1과 c2를 u와 v로 표현을 바꾸고, u′y1+v′y2=0의 조건을 만족하는 경우에 대해 u′y1 + v′y2 = 0 --- (1) u′y′1 + v′y′2 = r(t) ---(2) 유도과정 아래의 일반적인 비제차 2계 ODE를 생각해볼 수 있다. yp는 yh의 기저에 어떠한 parameter를 곱한 것들의 선형합으로 표현될 수 있다. 그 형태는 y.. [공학수학 1] part C - 비제차 2계 ODE 미정계수법 다시 회로이론에서의 상황을 생각해보겠습니다. 회로이론1 - 직류 2차회로 (tistory.com)의 내용을 상수계수에서 한 번 본적있습니다. 다만 실제로는 상수계수는 이번 비제차 2계 ODE를 푸는 과정 중 하나의 파트입니다. 따라서 실제로는 직류 2차회로의 modeling된 부분은 이번 내용과 직접적인 연관이 있습니다. 회로에서 전원이스위치에 의해 끊기고 이 회로에는 에너지 저장 소자 2종류가 모두 있습니다. 따라서 전원을 끊어도 바로 회로에 모든 전기장이 소멸하지 않고 전류가 일정 시간 동안 흐르게 됩니다. 이럴때는 시간이 충분히 흐른 후 와 지금 당장의 잔류하는 전류를 따로 분리하여 생각해볼 수 있습니다. 즉 고유응답과 강제응답을 나누어 각각 구하고 합하는 것입니다. 아래의 이미지를 보겠습니다. 우.. [공학수학 1] part B - 기저의 선형 독립성, wronskian 2계 ODE의 해를 구할 때 기저가 두 개가 나옵니다. 그런데 이 기저가 선형 독립이어야 한다는 조건이 있습니다. 기존에 구헀던 ODE들의 기저가 독립이었던 것인데요, ODE를 풀다보면 다른 근이 있는 것은 아닌지 하는 등의 의문이 들 수 있고, 이러한 의문들이 해결되어야 modeling된 상황을 적확하게 푼 것이라고 할 수 있겠습니다. modelng한게 알고보니 다른 예외들이 계속 발생하면 안되겠죠. 위와 같은 일반적인 2계 ODE에서 일반해는 아래의 형태를 갖습니다. 여기서 특정한 점 α에 대해 아래의 두 방정식을 가정할 수 있습니다. 위의 두 식을 행렬로 표현하겠습니다. 자 그러면 k1과 k2는 어떠한 상수이길 원합니다. 0이면 y값과 무관하게 방정식이 항상 성립하기 때문입니다. 그러려면 좌측의 2.. 이전 1 2 다음
