전자기학 1 (17) 썸네일형 리스트형 자기장 [자기력] 자기력은 기본적으로 F = qu x B입니다.(외적기호는 x로 표기하겠습니다) 이건 양전하를 기준으로 양전하가 받는 자기력입니다. 따라서 음전하라면 방향이 반대 방향이 됩니다. 이때, F가 어떠한 변화에 영향을 받아 변할 수 있다면 dF를 구해 적분을 해서 F를 구해야합니다. 따라서 이때 dF = dqu x B가 되는데 dq = ρAdl = -NeAdl이므로 dF = -NeAdlu x B가 됩니다. (밀도 ρ는 단위 부피당 전자 개수(N) * 전하량(-e) ) [자기장] [암페어 법칙] 전자기학 Part 2(정전기학 파트) Overview 참고사항 외적(cross product) 외적과 외적의 개념 지금까지 빈번하게 사용해왔습니다. curl에 대해 다룰때 del연산자를 벡터와 외적을 해주었었습니다. 간단하게 외적에 대한 특징을 짚어보겠습니다. > 외적은 교환 / 결합 법칙이 성립하지 않는다. ex> A x (B x C) ≠ (A x B) x C, A x B = - B x A (anti-commutive, 교환법칙 성립 x) > cross product의 방향은 두개가 나올 수 있는데 오른손 법칙을 이용한다. Orthogonal coordinates(직교 좌표계) 직교좌표계는 직교좌표계를 구성하는 벡터들이 직교라는 것입니다. 그러니까 3차원인 세계에서 어떠한 위치나 힘이 3개의 element로 표현이 될 수 있는데 이 element들의 방향이 서로 .. 전기 에너지 밀도(electric energy density) 공간상에 존재하는 이산적이거나 연속적인 전하분포들이 서로에게 영향을 주게 되면 그 공간상에는 에너지가 있을 것입니다. 만약 양 전하를 공간상에 놓는다면 같은 극성을 갖는 전하이므로 서로를 밀어내며 멀어지려할 것입니다. 즉, 에너지가 있다는 것입니다. 그러한 에너지는 다음과 같이 구해볼 수 있습니다. 이산적인 경우, 다음과 같습니다. 아래 식의 Vi는 Qi가 다른 전하들에 의해 받는 퍼텐셜의 총 합산량입니다. 각 전하가 받는 총 에너지들을 모두 합하면 계의 전체 에너지값이 나올 것입니다. 그 식이 아래와 같이 표현되는 것입니다. 만약 전하 분포가 연속적이라면 위와 같이 시그마 표현 대신 적분을 이용해야 합니다. Q = (전하 밀도) * 부피 관계를 이용합니다. 그리고 가우스 법칙을 이용하면 전하밀도를 전기.. 전기장과 전위의 관계 전위의 식은 다음과 같았습니다. 전기장 벡터를 선적분 한 값에 -부호를 붙인 것과 같았습니다. 전기장은 무한으로 뻗어나가고 dl은 그 반대방향이므로 퍼텐셜 에너지가 양수가 되려면 -부호를 붙여주어야 합니다. 어쨌든, 전위의 식은 아래와 같은데, 여기서 dl에 따라 식이 항상 성립하기 떄문에 아래처럼 간단하게 일반화화여 나타낼 수 있다는 점을 확인할 수 있습니다. 아래와 같이 dl이 다른 경로의 미소 길이일 수도 있습니다. 그런데 위와 같이 간단히 쓰려면 이 경로에 무관해야 합니다. 직관적으로 위치 에너지가 지면으로부터의 거리에만 영향을 받는 다는 것을 알기떄문에이 경우도 직관적으로 경로에 무관할 것이라고 생각할 수 있고 실제로 그렇습니다. 단 전기장 벡터인 E의 curl이 0일 경우에만 경로에 무관합니다.. 전위(Electric potential) 전위는 전기장 내에서 단위전하가 갖는 위치에너지입니다.(전위 (naver.com)). 요즘은 위치에너지와 운동에너지 대신 퍼텐셜에너지와 운동에너지란 용어를 쓰기 때문에 퍼텐셜 에너지라고 쓰겠습니다. 아래는 그 퍼텐셜 에너지, 즉 전위의 수식입니다. 전기장 벡터을 선적분한 값입니다. 다음 그림과 같이 Q전하량을 가진 전하가 원점에 고정되어 있고 q전하량을 가진 전하가 공간상에 놓여 있다고 생각해보곘습니다. 두 전하가 같은 부호이기 떄문에 고정되지 않은 q전하량의 전하는 운동을 할 것입니다. 운동을 하다가 아주 멀어져서 퍼텐셜 에너지가 0으로 수렴하게 될 텐데, 이떄의 운동에너지가 퍼텐셜 에너지와 같을 것입니다. 위와 같은 상황에서 쿨롱의 법칙을 이용하여 Q전하에 의한 전기장에 놓인 q전하가 받는 힘을 구할.. Gauss's law(가우스 법칙) 가우스 법칙은 특정 영역에 대한 전하량과 flux간의 관계입니다. 식으로 표현하면 아래와 같습니다. 좌측의 식과 우측의 식 모두 가우스 법칙이라고 할 수 있습니다. 우측의 식은 일종의 변형이고 좌측의 식이 일반적인 표현입니다. 식의 의미는 아래와 같이 어떠한 영역에 대해 표면에서의 outward flux가 내부의 전하량에 비례상수를 곱한 값과 동일하다는 것입니다. (비례상수를 1/ε0라 했을 때) outward flux는 전기장 벡터를 면적분 한 것과 동일하므로 첫번째 이미지와 동일한 식이 나오는 것입니다. 그런데 이 outward flux를 면적분한 값과 동일한 값은 divergence의 면적분과도 동일했습니다. 즉 영역 내부의 source와 sink의 발산정도를 합산한 것이 표면에서의 flux를 합산.. 전기력 계산 특정한 전하의 집합체에 의한 임의의 점에 놓인 전하가 받는 힘을 알려면 전기력을 계산할 수 있어야 합니다. 예를 들어 직선형태의 전하 집합체에 의한 영향을 구해야할 수 있습니다. 이때 작은 구간으로 나누어 계산한 후 중첩의 원리를 이용하면 전기력을 구할 수 있습니다. 단 여기서는 정전기력을 구합니다. 위와 같은 직선 형태로 전하들이 있을 때 dz민큼의 구간으로 나누어 이 구간이 우측의 점에 가하는 힘은 E입니다. (힘은 벡터) 그런데 이 직선이 말 그대로 길이가 무한한 선분이라면 분명 우측의 점을 기준으로 직선위에 방금 고려헀던 dz구간과 대칭인 구간이 있을 것 입니다. 아래와 같을 것입니다. 즉 ρ성분만 남습니다. 따라서, Et는 직선의 구간에서 해당 점에 가하는 힘의 ρ성분만 고려하면 되고, 이는 곧.. Laplace operator(Laplacian, 라플라시안) 라플리사안은 기울기연산자(grad) 및 발산연산자(div)가 복합된 하나의 연산자(라플라시안 (ktword.co.kr))입니다. 아래의 그림을 보면 3차원상에서의 함수 f에서 gradient를 구한 빨간 선이 발산하는지 수렴하는지에 대한 divergence를 구하는것이 라플라시안(또는 라플라스 operator를 적용한 것)입니다. 특징적으로 스칼라값에 연산자를 적용하는 것이며 결과도 스칼라 값입니다. 원통과 구 좌표계에서는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. Curl (회전) curl은 회전을 나타내는 연산자입니다. (Curl (mathematics) - Wikipedia) 직교 좌표계에서, 임의의 벡터에 대해 del연산자를 cross product(외적)한 것이 curl이 됩니다. 위의 식에서처럼 행렬 연산으로 나타낼 수 있습니다. curl을 수학적으로 다시 표현하면 다음과 같습니다. 이 식의 의미를 알아보기 전에 위 행렬식의 i, j k성분의 값이 곧 아래 식의 x, y, z성분의 값과 동일하다는 점을 짚고 넘어가겠습니다. 그러면 바로 위의 식(식 2)를 보겠습니다. 2차원에서의 회전은 회전축의 방향이 동일합니다. xy평면이라면 회전축은 다 z축과 나란할 것입니다. 3차원 공간에서는 회전축이 x,y,z성분을 다 갖게 되는데(2차원 평면에서의 회전축은 (1,0,0)이렇게 하.. 이전 1 2 다음
