y'' + 36y = 0과 같이 ODE가 상수의 계수만 갖는 경우에 따른 solution을 구하는 방법이 있습니다. 회로이론1 - 직류 2차회로 (tistory.com) 에서 직류 2차 회로를 modeling할 때 실제로 상수계수를 갖는 ODE가 나왔기 때문에 이 solution이 사용이 되었는데 해당 회로이론 포스팅에서는 결론만 인용을 했었습니다.
참고로 2계 ODE는 항상 중첩의 원리(superposition)을 적용하여 general solution을 구해줍니다. 이 내용을 수식으로 일반화하면 다음과 같습니다. 이 상수계수만을 갖는 ODE를 푸는 것과 직접적인 관계는 없으나 2계 ODE를 풀면 항상 공통적으로 적용되는 부분이라 참고하면 좋겠습니다.
이제 상수계수만을 갖는 2계 ODE(second-order ODE with constant coefficients)의 solution을 보겠습니다.
방법은 y= e^αx라고 두고 ODE에 대입하는 것으로 시작합니다. 왜냐면 선형상미분방정식이기 때문에 한 번 시도해보는 것인데 y' + ky = 0의 해가 정형화된 y = Ce^-kt의 형태로 나오기 때문에 고차 미분방정식 중 선형적인 방정식도 해가 유사할 것이라는 가정을 한 번 해보는 것입니다.
y = eαx를 미분하면 y', y''도 표현이 가능하고 자연상수는 양변에서 나누어 줍니다. 어차피 우변이 0이 되야하는데 자연상수꼴은 0이 될 수 없어 지워집니다. 즉, 특성방정식이라고 하는 n차 방정식만 남게됩니다. 회로이론 포스팅에서도 마찬가지로 나왔던 것이 이 특성 방정식입니다.
다만 이 특성방정식의 해가 실근 2개, 중근, 복소근이 나올 수 있어서 general solution은 각 경우에 따라 다릅니다. basis를 구하는 방식만 동일합니다. 다음은 각 경우에 따른 general solution입니다.
실근 두개가 나온다면 superposition원리를 바로 적용하면 되고 중근이면 하나의 basis를 아는 ODE문제가 되는건데 결과는 어떠한 경우든 이미 알고 있는 하나의 basis에 변수(아래에서는 x에 dependent하므로 x)를 곱해준 형태입니다.
마지막의 복소근을 갖는 경우는 역시 superposition을 적용하여 더해주면 되긴하지만 이 soluition을 오일러 공식을 이용해 정리해주어야 합니다.
Reference:
Ordinary differential equation - Wikipedia
12강:연립미방 - 기초이론/상수계수/임계점조건 - YouTube
공학수학(1) [11강] 2계ODE - 상수계수 (제차 선형 2계 ODE) [2021년] (1.25~1.5배속 추천) - YouTube
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