[공학수학 1] part B - 2계 제차 ODE 계수내림

2계  ODE가 특정한 형태를 갖는 경우에 대해 형태마다 그 ODE의 해법을 구할 수 있는 방식이 있습니다. 

이 계수 내림 파트에서는 일반적으로 치환을 통해 계수를 하나 내려 1계 ODE로 만드는 것이 목표입니다. 참고로 계수 내림은 영어로 reduction of order라고 합니다. 이 계수내림 파트는 최하단에 참고한 자료를 첨부하였고 두 가지 방식에 대해 출처에 따라 나누어 다루겠습니다.

 

참고: 2계 제차 ODE의 경우 기저가 2개이고 general solution은 이들의 합입니다. 즉, 두 기저에 각각 상수를 곱하고 이 둘을 더한 값을 ODE에 대입해도 항상 식이 성립합니다. 물론 선형이기 때문에 가능한 것이고 비선형인 경우 상수를 곱하면 바로 식이 성립하지 않습니다. 비제차 ODE의 경우 기저의 합이 해가 되지 않을 수 있습니다.

 

[KERYSZIG 공업수학 10판 상] -> 계수 내림: 한 개의 해를 알고 있을 때 기저를 구하는 방법.

하나의 기저 또는 해를 알고 있는 경우 이 해를 y1이라고 하겠습니다. 그러면 2계 ODE는 2개의 독립해가 나와야 하므로 다른 기저를 y2라고 하겠습니다. 그리고 일반해의 경우 중첩의 원리(또는 선형성 원리)가 적용되어 두 개의 기저를1차 결합한 형태입니다. 즉, 다양한 해가 나올 수 있다는 것입니다. 여기에서 specific한 경우에 대해서 특수해를 구할 수 있습니다.  

 

하나의 기저를 알고 있는 2계 제차 선형상미분방정식을 푸는 방식은 아래와 같습니다. 다만 아래의 풀이 과정을 보기전에 2계 제차(homogeneous) 선형상미분 방정식, 즉 y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)의 '선형성'을 띄는 형태를 가지며 R(x)가 0인 homogeneous한 조건을 만족하는 방정식에 대해 적용되는 풀이임을 알아두어야 합니다. y''는 f(x)y''가 아닌 계수가 항상 1로 유지시킵니다. 

 

2번에서 각 기저를 방정식에 대입합니다. 나중에 식을 정리할 때 사용됩니다. 

위의 U'은 dU / dx이므로 U는 U끼리, x는 x끼리 모아서 아래와 같이 적분합니다. 

이 계수 내림의 경우 풀이에 계산이 많아 이 풀이과정을 본다고 공식의 형태가 연관지어 생각나기는 어려울 것 같기는 하지만 조금 계산을 한다면 직접 유도해 낼 수 있을 것입니다. 

 

[https://youtu.be/WA6E0KLzclo]-> 치환을 통한 계수 내림

 

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Reference:

KERYSZIG 공업수학 10판 상

공학수학(1) [10강] 2계ODE - 공식계수내림 (하나의 해가 주어진 경우) (2023년 Ver.) - YouTube