회로이론 2 보드선도/전달함수

1. 전달함수

어떠한 input신호에 의해 예를들어, 커패시터같은 곳에서의 출력이 어떻게 되는지에 대한 비울을 나타내는 함수입니다. 

주로 다음의 네가지 경우가 있습니다. 

2. 보드선도

그런데 만약 위에서의 전달함수를 구하는것은 지금까지 해본 것과 비슷하게 구하면 됩니다. 그런데 여기서 중요한 것은 입력의 변화에 따른 출력의 반응일 것입니다. 기존에 페이저 회로에서는 주파수에 대한 변화와 그에 따른 응답에 대한 정보 및 관계는 알기 힘들었습니다. 각 주파수에 대해 계속 연산을 하면 가능하겠지만 상당히 힘들 것입니다. 

따라서 아주 정확하지는 않지만 간단하게 파악할 수 있는 '보드선도(Bode plot)'을 사용할 수 있습니다. 

위와 같이 보드선도는 크기와 위상에 대해 각각 다룹니다. 즉 한 전달함수에 대해 두 개의 그래프를 그리게 됩니다. 

여기서 크기를 로그스케일로 표현하는데 이게 보드선도의 핵심입니다. 곱형식으로 주로 표현되는 전달함수를 덧셈/뺄셈으로 변환하면 나중에 보드선도를 몇가지 기본적인 그래프의 조합으로 표현할 수 있기 때문입니다.

 

그러기 위해 아래의 표준형태의 전달함수에서 각각의 term에 대한 그래프 개형을 미리 알아두어야 합니다.  

위의 각 색깔에 대한 그래프 개형을 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

 

3. 보드선도 그리는 과정

위의 전달함수에서 대표적으로 단순한 분수 형태의 보드선도를 그려보겠습니다. 보드선도는 근사치를 적절히 구하면 작도가 쉽습니다. 따라서 표현식을 구하고 이들이 어떠한 조건일떄 어떠한 값으로 근사시켜도 되는지 파악한 후 이 근사된 값을 먼저 그래프로 그리게 됩니다. 

 

근사치 구하는 과정까지는 다음과 같습니다. 

자, 그러면 각 주파수가 a1보다 크면 일차함수가 되고 작으면 y=0형태로 그리면 된다는 것을 알게 되었습니다. w=a1의 조건을 찾은 이유는 사실 각주파수가 a1보다 크고 작은 조건만 이용하면 그래프가 불연속적이 되며 실제 그래프와도 차이가 꽤 나는 부분이 생깁니다. 실제 그래프는 연속적일테니까요. 그래서 추가로 조사를 하는 것입니다.

 

이제 근사된 결과를 그려주고 이 근사된 결과에 비슷하게 그래프를 다시한번 더 그려주면 보드선도를 그릴 수 있게 됩니다.