무한전위우물

무한전위우물(infinite potential well)은 다음과 같이 일정 구간을 좌우로 어네지 전위가 무한대인 상태를 말한다. 

따라서 전자가 일정 구간(0<x<a)외에는 존재할 수가 없다. 

이러한 조건에서의 파동함수와 그것의 솔루션은 다음과 같습니다. 

0<x<a에서 Vp가 0이므로 이전에 봤던 1차원 슈뢰딩거 방정식의 x항들에서 Vp가 곱해져 있던 항이 0이되어 위와 같은 형태가 되고 갇혀있는 전자이므로 삼각함수로 표현한 것입니다. 결과를 보면 k가 양자화 되어 있습니다. 

 

참고로, 아래는 1차원 슈뢰딩거 함수에서 다루었던 원래 식입니다. 이때 가장 오른쪽의 상수만 에너지 E로 대체한 것입니다. 

 

이제 경계조건을 이용합니다. 이때의 경계조건은 공학수학에서의 좌우는 단열이 되지 않는 경우와 같은데,

즉, 파동함수가 연속이어야 하고 유한해야 한다는 조건을 만족하기 때문에 다음의 경계조건이 성립하는 것입니다. 

따라서 파동함수는 위와 같이 표현됩니다. 

 

만약 이 파동함수를 제곱한 후 적분하면 확률밀도함수가 되는데 이는 아래와 같습니다. 

제곱한 형태는 켤레복소수를 곱한 형태가 되기 때문에 위의 붉은 식에서 Ø(t)는 자동으로 소거되고 결국 위치에 대한 정보만 남게 됩니다. 

 

따라서 아까의 파동방정식을 다시 표현해보면 다음과 같습니다.