계단형 에너지 장벽, 터널링 현상

슈뢰딩거 방정식을 풀게되면 파동함수를 알 수 있다. 이를 제곱하게 되면 파이 term은 자동으로 소거가 되기때문에 전자가 발견될 확률밀도함수를 얻을 수 있다. 

 

이때, 아래와 같이 계단형 에너지 장벽을 생각해볼 수 있다. 

이러한 경우에는 이전과 다르게 v_p가 x>0인 범위에서 무한은 아니다. 따라서 전자의 E가 x>0의 범위에서 에너지 전위보다 높을 수도 있다. 

전자가 E의 에너지를 가지고 좌에서 우로 이동한다고 할 때, 이동하는 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해는

위와 같이 지수 함수 꼴로 표현된다. 

 

다만 위의 일반적인 해는 어느정도의 기본적인 조건을 적용하면 다음과 같이 정리할 수 있다. 

기본적으로, 파동이 투과하느냐 반사되느냐의 문제가 생기는데, x>0의 범위에서는 파동이 반사될만한 경계가 없다. 

경계는 x=0에서만 존재하며 전자가 좌에서 우로 이동하는 경우이므로 반사파는 x<0의 범위에서 x축 반대방향으로만 존재할 수 있다. 

따라서 x>=0의 범위에서는 자연상수의 지수가 +인 경우만 남고 -인 경우는 소거된다. 

 

이제, 전구간에 대한 변수를 포함한 식은 구했으므로 아까전에 전자의 E가 v_p보다 큰지 작은지에 대해 경우를 나누기만 하면 파동함수를 온전히 구할 수 있다. 각각의 case에 대해 공학수학에서 다루었듯 경계조건을 적용하면 된다.

 

E>v0인 경우는 위와 같다. 

이때 경계조건은 아래와 같이 x=0에서 연속이어야하고 미분가능해야하는 조건이 있다. 일반적으로 연속은 성립을 해야, 중간에 갑자기 전자가 존재할 확률이 '급격하게' 0이 되는 경우가 없어진다. 물론 연속적으로 감소하여 특정한 점에서 0이 될 수는 있다. 

이러한 경계조건을 이용하여 계수들의 비를 위와 같이 구할 수 있다. 

 

반대로 전자의 E가 작은경우는 다음과 같다. 

k 때문에 약간 식이 달라지는데 원래 k의 식을 구할때 루트 안에 (E-V0)가 있다보니 E<v0인 경우 복소수 결과가 나오기 때문에 k2'을 아래와 같이 정의하였다. 그 외에는 위와 동일하다.

위의 식의 결과가 중요한 이유는 E가 v0보타 작더라도 x>0에서 전자가 어느정도 발견될 확률이 있다는 것이다. 이 같은 결론 때문에 양자 터널링 현상도 나타나는 것이다. 만약 x>0전체가 아닌 0<x<ε인 경우에 v0이고 나머지는 vp = 0이었다면 저 에너지 장벽을 통과하는 파동이 존재할 수도 있다는 것이다. 이를 flash메모리에서 응용하여 데이터를 저장하기도 한다. 

(https://youtu.be/c_tDYlC7ksM?si=CilDlPHBKsZ7KRL9)

 

문제(solid state electronic devices 7th):

2.7

2.7의 경우는 경계조건이 연속만 해당된다. 미분가능성의 경우는 성립하지 않는데 문제의 조건 자체가 하나의 파동으로 벌어진 일이 아니기 때문인듯 싶다. 

즉, 주어진 파동함수자체가 k값이 아예 다른, 위에서 다른 하나의 파동이 에너지 장벽에 의해 발생한 경우와는 다른 상황인 것 같다. 

2.8

2.8의 경우 전자를 발견할 확률밀도가 1임을 이용하여 푸는 문제이다. 

사실 k는 구할 필요가 없긴한데 복습차 적었다.