선형상미분방정식도 완전상미분 방정식, 적분인자와 궤를 같이 합니다. 분리가능 ODE와 치환을 해야했던 ODE같은 관계입니다. 이 선형상미분방정식의 형태는 y' + P(x)y = r(x)입니다. 이 형태를 완전상미분방정식 형태로 만들어야 합니다.
우선 선형상미분방정식의 해는 다음과 같습니다.
하지만 앞에서부터 나온 이 해들을 전부 단순 암기하기는 힘들기 때문에 역시 해가 나오는 과정을 보겠습니다.
풀이과정
y' + P(x)y = r(x)을 정리하여 완전상미분방정식 형태로 만들어줄 것입니다.
위와 같이 항들을 한쪽으로 넘겨줍니다.
dx의 성분과 dy의 성분으로 이루어진 다변량 함수 u의 미분꼴로 표현되었고 우변이 0이므로 전미분 형태입니다. 이제
적분인자를 구해주면 exp(∫Pdx)가 됩니다.
이 다음 y를 구하는 방식은 완전상미분 방정식때처럼 M을 적분하여 다변량 함수를 구하고 이 다변량 함수의 편미분이 N과 같다고 놓고 문제를 풀 수 있습니다. 다만, 선형상미분방정식의 경우 shortcut이 있습니다.
자연상수가 곱해지는 형태의 경우 그 미분 결과의 형태를 알고 있기 때문에 shortcut을 바로 생각해볼 수 있습니다.
그 방식은 아래와 같습니다. 우선 초기 식인 y' + P(x)y = r(x)에 적분인자를 곱하는 것부터 시작합니다.
적분인자를 구하는 과정에서 나오는 적분상수는 무시할 수 있지만 위의 과정에서 나오는 적분상수는 사라지지 않기 때문에 무시할 수 없습니다.
직관 대신 차근차근 푸는 방법은 아래와 같습니다. du형태로 만들고 적분 인자를 구하는 방식입니다. 이렇게 모두 알아두면 한결 마음이 편합니다...😊
참고로, 선형상미분방정식이라는 용어는 미분방정식이 선형이어야 한다는 것인데, ax+b는 선형이고 ax^2+bx+c는 아니라는 점과 유사한 개념입니다. 즉, y에 대한 Form으로 표현될 때 y의 2차 이상의 미분 형태나 y의 제곱이상의 고차항이 없이 y' 및 y항 정도로만 이루어진 방정식을 선형적인 상미분 방정식이라고 합니다.
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