curl은 회전을 나타내는 연산자입니다. (Curl (mathematics) - Wikipedia)
직교 좌표계에서, 임의의 벡터에 대해 del연산자를 cross product(외적)한 것이 curl이 됩니다.
위의 식에서처럼 행렬 연산으로 나타낼 수 있습니다.
curl을 수학적으로 다시 표현하면 다음과 같습니다. 이 식의 의미를 알아보기 전에 위 행렬식의 i, j k성분의 값이 곧 아래 식의 x, y, z성분의 값과 동일하다는 점을 짚고 넘어가겠습니다.
그러면 바로 위의 식(식 2)를 보겠습니다. 2차원에서의 회전은 회전축의 방향이 동일합니다. xy평면이라면 회전축은 다 z축과 나란할 것입니다. 3차원 공간에서는 회전축이 x,y,z성분을 다 갖게 되는데(2차원 평면에서의 회전축은 (1,0,0)이렇게 하나의 성분만 값을 갖습니다.) 이 회전을 2차원 평면의 회전으로 나누어 생각한 후 3차원으로 확장하면 간단해집니다.
위의 그림처럼 z축과 나란한 회전축을 가지고 있는 도형의 회전은 회전에 영향을 줄 수 있는 flux와 저 도형과 flux가 닿는 길이와 연관이 있을 것임은 쉽게 알 수 있습니다. 2차원 평면이므로 두께는 고려하지 않아도 됩니다. 그러면 자연스럽게 curl의 z성분은 flux벡터와 dl벡터의 내적값이 됩니다. 여기서 왜 z성분이냐면, 회전의 방향을 얘기할 때는 오른손 법칙을 이용해서 방향을 정하기 떄문입니다. 그래서 저 회전은 지면에서 나오는 방향으로 회전하는 거라고 표현할 수 있습니다.
x, y성분은 각각 z성분만 x와 y로 바꾸면 되기 때문에 식은 동일하고, 이렇게 계산을 해주면 식2가 나옵니다.
<원통/구 좌표계에서의 curl>
원통과 구 좌표계에서의 curl은 다음과 같습니다.
<curl의 특성>
curl에 대한 특성은 다음과 같습니다.
1. 벡터의 divergence에 curl operator을 취하면 0이 된다.
2. 벡터의 curl에 del연산자를 취하면 0이된다.
3. stoke's 정리
stoke's정리는 다음과 같습니다. 위에서 나온 식1과 식2가 같은 거라고 했었는데, 두 식을 같다고 놓으면 아래의 형태는 바로 보입니다.
간단하게 보면 아래 그림처럼 미소 면적에 대한 curl을 면적분하면 미소 면적끼리 맞닿은 부분까리 상쇄가 될테니 겉 부분에 대한 것만 남아 위해서 본 것 처럼 통채로 봐도 된다는 것입니다. (아래 그림을 다시 가져왔습니다.)
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