전자기학 1 (17) 썸네일형 리스트형 Divergence theorem(발산 정리) 발산 정리는 Gauss's theorem이나 Ostrogradsky's theorem이라고도 합니다.(Divergence theorem - Wikipedia) 전자기학에서는 가우스 법칙을 유도해낼 수 있습니다. 아래 그림과 같이 V의 부피값을 가진 영역이 있습니다. 이 안에 source가 있을 수도 있고 sink가 있을 수도 있는데, 이러한 요소들이 만들고 없애는 flux를 총 합산한 값이 표면에서 나가고 들어오는 값과 동일하다는 것이 발산정리(divergence theorem)입니다. 그러니까 주식계좌에 항상 동일하게 100만원이 있다고 할때(flux가 비압축성이라는 것을 가정한 것) 주식가격이 오르고 내리는 것에 맞게 계좌주가 출금 또는 입금을 하고 있다고 생각하면 좋겠습니다. 주가가 떨어졌는데도 잔.. Divergence(다이버전스, 발산) divergence는 특정한 점에 대한 특성을 나타내줄 수 있는 연산자(operator)입니다. DIvergence의 역할은 어떠한 점을 둘러싸는 극소부피에서의 outward flux(바깥으로나가는 flux)를 나타내는 것 입니다.(Divergence - Wikipedia) 즉, divergence를 취한 값이 양수면 해당 점에는 source가 있어 flux가 생기고 있는 중인 것이고, 음수라면 sink가 있어 없어지고 있는 것이라는 의미가 됩니다. 위의 그림처럼 p를 중심으로 극소 부피가 있을때 이 구의 표면으로 나가는 flux의 추세의 합산량이 divergence입니다. 합산량이라고 표현했는데 들어오는 것은 음의 outward flux라고 할 수 있으므로 이런 outward flux를 다 모아 합산한.. Directional derivative(방향 도함수) 아래의 그림처럼 f가 다변량 함수일 때, x,y가 특정한 방향으로 변하면 f는 어떻게 변할지를 수학적으로 표현해주는 것이 방향 도함수(directional derivative)입니다. 방향 도함수는 다변량 함수의 동시적인 변화율을 나타낸다고 할 수 있는데(Directional derivative - Wikipedia), 아래의 식에서처럼 함수의 gradient와 방향을 나타내주는 (단위) 벡터의 내적으로 구할 수 있습니다. 아래처럼 유도할 수도 있습니다. 일반적으로 미분을 표현하던 방식과 동일하게 같은 걸 빼고 더한 후 분리하면 됩니다. 단 r은 위치 벡터이고, x,y등 n차원 벡터이므로 아래에서는 r이 2차원으로 두었고 식 전개 과정에서 x, y성분을 각각 분리하였습니다. 코시 슈바르트 부등식 맨 처음.. Differential Length, Area and Volume 미소 길이, 넓이, 그리고 부피에 대해 알아보겠습니다. 넓이의 경우 어떠한 표면을 통과하는 flux를 계산할 때 필요하고 부피의 경우 전하의 분포를 파악하는데 사용될 수 있겠습니다. 이러한 계산들을 하다보면 어떠한 가우스 법칙이 유도되어 나오는 등 실제로 유용한 결과들이 도출되는데, 결국 전자기학에 대한 인사이트를 넓히기 위한 기반 수학이 되겠습니다. Differential Length [원통 좌표계에서의 differential length] 미소 길이 벡터는 원통 좌표계상에서 임의의 방향으로 뻗어나갑니다. 빨간선이 그 방향과 길이인데, 이를 해석하기 위해 원통좌표계의 성분 벡터들로 분해를 해보면 파란 점선이 됩니다. 직육면체의 모서리 중 빨간 선의 시작점인 꼭짓점에 닿아있는 모서리가 분해된 성분 벡터입.. 전자기학1 - spherical coordinate(구 좌표계) 아래의 좌표계에서 (x,y,z)=(0,0,0)지점에 전자가 하나 있을 때 주변의 전기장 분포는 구의 형태로 나타날 것입니다. 세기가 동일한 지점들이 이루는 면은 구의 표면형태가 됩니다. 구 좌표계는 이러한 상황을 표현하기 위해 사용됩니다. 그림과 같이 r, θ, φ로 표현됩니다. [직교 -> 구 좌표계] [구 -> 직교 좌표계] [직교 -> 구 좌표계] 이 변환은 간단하게 식을 찾기 위해 직관을 이용합니다. 예를 들어, r이 x방향 성분만 갖으려면 x축위에 있으면 될 것입니다. 그러려면 θ는 0이 되야할 것이고 마찬가지로 φ도 0이 되어야 합니다. 이런 식으로 찾아가는 shortcut으로 아래의 식을 구해볼 수 있습니다. θ의 경우 헷갈릴 수 있는데, 지금 생각하는 과정과 같이 shortcut을 이용하는.. 전자기학1 - Cylindrical coordinate(원통 좌표계) 전류가 흐르는 직선 도선 주위에는 자기장이 형성됩니다. 위와 같이 도선의 한 지점을 중심으로 하는 동심원을 그리는 형태입니다. 도선은 길고, 또 편의상 도선이 무한하다고 하는 경우 원통과 같은 형태로 자기장이 형성될 것입니다. 그런데 이러한 자기장을수식으로 표현할 때 직교좌표계로는 식이 복잡해집니다. 아래와 같이 임의의 점에서 자기장의 방향이 표현됩니다. 원통 좌표계에 비해 직교 좌표계가 식이 더 복잡합니다. z축 방향의 성분은 없으므로 아래와 같이 2차원 평면에서의 방향을 찾는 것으로 간단하게 생각해 볼 수 있습니다. x축방향 반대방향으로 가는 성분과 y축 방향으로 가는 성분의 합으로 자기장의 방향이 표현됩니다. 원통좌표계는 아래와 같이 ρ, φ, Z의 성분으로 나타냅니다. 직교좌표계 상에서 z축까지의.. 전자기학1 - Vector Algrbra(벡터 대수학) 전자기학에서는 외적 및 내적 등 벡터 대수학적인 지식들이 사용됩니다. 특히 로렌츠 힘(Lorentz force)의 공식인 공식 1을 보면 벡터의 외적이 사용되는 것을 볼 수 있습니다. 로렌츠 힘은 전기력 및 자기력을 함께 표현한 식(로렌츠 힘 (ktword.co.kr))입니다. 실제로 전자가 움직이는 방향과 자기장의 방향에 시직인 방향으로 전자에 힘이 가해지는데, 이러한 현상들을 설명하고 표현하는데 내적 및 외적에 대한 내용이 필요합니다. 내적의 식은 다음과 같습니다. 각각의 벡터의 크기 곱에 cosθ를 곱한 값입니다. A = (1,2,0), B=(0,2,3)이라면 A•B = 4입니다. 각 성분끼리 곱한 뒤 더해주면 내적 값을 구할 수 있고, 내적의 결과는 스칼라 값입니다. 따라서 1*0 + 2*2 + .. 이전 1 2 다음
