회로이론2 - 교류정상상태에서의 평균전력

일반적인 직류회로에서 전압과 전류는 시간에 대해 변하지 않습니다. 따라서 소자들이 소비하거나 공급하는 전력도 시간에 대해 일정합니다. 그런데 교류는 그렇지 않습니다. 전력도 시간의 함수로 나타납니다.

그런데 위의 식은 순간전력을 구하는 식입니다. t에서의 전력인데, 사실 매시각의 순간적인 전력 소모량보다는 일정한 시간동안 평균적으로 얼마나 썼는지가 더 필요합니다. 따라서 이를 적분하고 적분한 길이만큼 나누어 다음과 같이 평균전력을 구합니다. 

그러면 이제 실제로 계산을 통해 평균전력을 구할 수 있도록 수식을 보겠습니다. 

아래와 같은 부회로(subcircuit, 일부분만 떼어낸 회로)가 있을때, 교류이므로 전류는 Im * cos(wt+φi)입니다. (Im은 Imax입니다) 전압은 Vm * cos(wt+φv)로 나타낼 수 있습니다. 이를 위에 평균전력 구하는 적분식에 대입하면 아래 이미지의 최하단 식인 Pavg = 1/2 * Vm * Im * cos(φv-φi)를 구할 수 있습니다. 

유도과정은 다음과 같습니다. 

참고로, purely resistive해지는 즉, 공명과 같이 인덕터와 커패시터의 임피던스의 영향이 없어지면 위상차가 없어져

1/2 * V^2 / R이 됩니다. 또한 인턱터나 커패시터의 영향만 있는 회로에서는 P=0이 됩니다. 전압과 전류의 위상차가 90도가 되기때문에 cos값이 0이 되버리기 때문입니다. 즉, 에너지 저장 소자인 인덕터와 커패시터는 평균 전력을 소모하지 않습니다. 단, 순시전력은 소모 및 방출할 수 있습니다. 이는 순시전력의 식을 보면 쉽게 알 수 있습니다. 

 

 

회로에서 전력 구하기

교류 2차회로에서 나오는 페이저를 이용하여 회로를 분석하여 소비/공급하는 전력을 구할 수 있습니다. 페이저로 변환하는 방식은 아래와 같았습니다. (아래는 극형식 표현을 사용합니다.페이저 (ktword.co.kr)  표현 형식에 따라 계산이 쉬운 연산이 있습니다. 아래와 같이 곱셈 및 나눗셈을 할때는 극좌표 표현이 쉽습니다. )

이를 적용하여 아까 구한 Pavg = 1/2 Im * Vm * cos(φv-φi)을 구합니다. 그러면 저항은 전압과 전류의 위상이 같아서 전력을 소비하는데 반해 커패시터와 인덕터는 위상이 서로 90도가 차이나기때문에 굳이 아래처럼 계산을 하지 않아도 cos값이 0이 된다는 점을 고려한다면 전력 소비가 0이 됩니다. 

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Reference:

https://youtu.be/YU4nUdYdTs8

22. 정현파 정상 상태 전력 계산 -(1) : 네이버 블로그 (naver.com)