Divergence theorem(발산 정리)

발산 정리는 Gauss's theorem이나 Ostrogradsky's theorem이라고도 합니다.(Divergence theorem - Wikipedia)

전자기학에서는 가우스 법칙을 유도해낼 수 있습니다. 

 

아래 그림과 같이 V의 부피값을 가진 영역이 있습니다. 이 안에 source가 있을 수도 있고 sink가 있을 수도 있는데,  이러한 요소들이 만들고 없애는 flux를 총 합산한 값이 표면에서 나가고 들어오는 값과 동일하다는 것이 발산정리(divergence theorem)입니다. 그러니까 주식계좌에 항상 동일하게 100만원이 있다고 할때(flux가 비압축성이라는 것을 가정한 것) 주식가격이 오르고 내리는 것에 맞게 계좌주가 출금 또는 입금을 하고 있다고 생각하면 좋겠습니다. 주가가 떨어졌는데도 잔고가 그대로라면 계속 돈을 더 넣고 있다는 것이겠죠. 주가가 오르고 내리는 것을 고려한다면 벡터에 divergence를 취한 값을 부피에 대해 적분하면 됩니다. 전체 부피에 대해서는 각 위치마다 벡터값이 다르기 때문에 한번에 계산을 할 수는 없고

대신 미소 부피에 대해 고려한 후 이걸 다 합해주는 것입니다.      

 

그러면 이 같다는 것을 수식으로 실제 예시로 보겠습니다. 여기서 flux는 G벡터로 표현됩니다. 이때 표면에 대해 나가고 들어오는 flux를 파악하여 아래 그림의 원통에 source와 sink가 얼마나 있는지, 어떤게 우세한지를 보고 싶은 상황입니다.     

 

방식은 아래 그림을 참고하시면 됩니다. 일단 원통이므로 위, 아래, 옆면이 있습니다. 미소 면적 식이 각각의 표면에 대해 다르기 때문에 별도로 고려를 해주어야 합니다. 이 세 면을 통해 나가고 들어오는 정도를 합산 해주면 모든 표면에 대해 고려한게 되고 이는 발산정리에 의해 곧 G벡터에 divergence를 취한 값을 부피에 대해 적분한 값과 동일해집니다.