Directional derivative(방향 도함수)

아래의 그림처럼 f가 다변량 함수일 때, x,y가 특정한 방향으로 변하면 f는 어떻게 변할지를 수학적으로 표현해주는 것이 방향 도함수(directional derivative)입니다. 

방향 도함수는 다변량 함수의 동시적인 변화율을 나타낸다고 할 수 있는데(Directional derivative - Wikipedia), 아래의 식에서처럼 함수의 gradient와 방향을 나타내주는 (단위) 벡터의 내적으로 구할 수 있습니다. 

방향 도함수 Directional derivative - Wikipedia

아래처럼 유도할 수도 있습니다. 일반적으로 미분을 표현하던 방식과 동일하게 같은 걸 빼고 더한 후 분리하면 됩니다. 단 r은 위치 벡터이고, x,y등 n차원 벡터이므로 아래에서는 r이 2차원으로 두었고 식 전개 과정에서 x, y성분을 각각 분리하였습니다.

 

코시 슈바르트 부등식

맨 처음 그림에서 x,y가 어떻게 변하는지에 따라 f의 변화를 알아보기 위해 방향 도함수를 적용했었습니다. 그런데 언제 f변화가 가장 큰 지는 코시 슈바르트 부등식으로 알 수 있습니다. 최대이려면 방향 벡터와 del f(f함수의 기울기)의 방향이 같으면 된다는 것도 확인할 수 있습니다. 위의 식에서 방향 벡터와 del f의 내적이 방향도함수와 같다고 했었는데, 방향 벡터로의 정사영이 곧 방향도함수입니다.  

즉 위의 그림을 다시 가져온 아래 그림에서 f의 기울기가 x,y 평면상의 한 점에 대해 평면을 그리며 무수히 많이 존재할 텐데, 이 점이 임의의 점이라면 기울기 중에서 방향 벡터로의 정사영이 가장 큰 것은 방향벡터 방향으로 정렬된 것이고, 모든 점을 통틀어 최대 크기는 아래 그림에서 z축위의 점일 때의 값일 것입니다. 그래야 xy평면위의 벡터와 가장 잘 정렬될 수 있습니다. 

원통/구 좌표계에서의 방향 도함수

직교좌표계가 아닌 경우, 즉 원통과 구 좌표계는 길이벡터도 있지만 각도 방향 벡터도 있습니다. 따라서 아래에서처럼 phi방향 성분을 구할 때 dφ가 미세하게 변할때의 f의 변화를 ρ * dφ가 미세하게 변할때의 f의 변화로 갈음합니다. 방향은 동일하니까요.