전위의 식은 다음과 같았습니다. 전기장 벡터를 선적분 한 값에 -부호를 붙인 것과 같았습니다. 전기장은 무한으로 뻗어나가고 dl은 그 반대방향이므로 퍼텐셜 에너지가 양수가 되려면 -부호를 붙여주어야 합니다. 어쨌든, 전위의 식은 아래와 같은데, 여기서 dl에 따라 식이 항상 성립하기 떄문에 아래처럼 간단하게 일반화화여 나타낼 수 있다는 점을 확인할 수 있습니다.
아래와 같이 dl이 다른 경로의 미소 길이일 수도 있습니다. 그런데 위와 같이 간단히 쓰려면 이 경로에 무관해야 합니다. 직관적으로 위치 에너지가 지면으로부터의 거리에만 영향을 받는 다는 것을 알기떄문에이 경우도 직관적으로 경로에 무관할 것이라고 생각할 수 있고 실제로 그렇습니다. 단 전기장 벡터인 E의 curl이 0일 경우에만 경로에 무관합니다.
전기장은 source가 고정되어 있으면 curl을 취한 값이 0이 됩니다. 구 좌표계에서 전기장 벡터에 curl을 취해보면 0이됨을 알 수 있습니다. 우선 아래의 전기장 벡터 식은 다음과 같습니다. source가 원점에 있지 않은 경우에는 분모의 r은 위치 벡터라고 생각해주시면 됩니다.
이 식에 curl을 취해야하는데 curl 공식은 복잡하니 아래의 식에 대입만 하겠습니다.
위에 대입하려고 보니 전기장은 r성분만 가지므로 아래와 같이 Dr이 아닌 Dtheta, Dphi는 0입니다. 게다가 Dr에는 theta와 phi성분이 없습니다. 그러니 밑줄친 부분도 결국은 0입니다.
따라서 전기장이 static한 경우 curl E는 항상 0입니다.
이렇게 curl E가 0임을 알았으니 아래의 그림을 보겠습니다. E가 flux로 작용하는 어떠한 공간에서 어떠한 면에 대해 curl값이 0입니다. 그렇다면 아래처럼 s라면 면에 대해 그 외부 flux인 E가 s의 주변을 따라 작용하는 영향의 합산량이 0이라는 것입니다. (curl 참고:Curl (회전) (tistory.com)). 그렇다면 flux가 L1을 따라 작용하는 영향과 L2를 따라 작용하는게 정확히 같을 것입니다. 면 s는 임의로 잡은 것이고 curl E는항상 0이므로 L1과 L2도 s를 둘러싼 것이면 어떤 것이든 무관합니다. 다만 L1과 L2를 r과 무한 사이의 경로라고 정의를 해야 V와 E간의 의미가 생기니 그정도 제한만 두겠습니다.
정리하면 아래와 같습니다.
E와 V의 E = -gradV 관계
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