전자기학에서는 외적 및 내적 등 벡터 대수학적인 지식들이 사용됩니다. 특히 로렌츠 힘(Lorentz force)의 공식인 공식 1을 보면 벡터의 외적이 사용되는 것을 볼 수 있습니다. 로렌츠 힘은 전기력 및 자기력을 함께 표현한 식(로렌츠 힘 (ktword.co.kr))입니다. 실제로 전자가 움직이는 방향과 자기장의 방향에 시직인 방향으로 전자에 힘이 가해지는데, 이러한 현상들을 설명하고 표현하는데 내적 및 외적에 대한 내용이 필요합니다.
<내적: Dot product>
내적의 식은 다음과 같습니다. 각각의 벡터의 크기 곱에 cosθ를 곱한 값입니다.
A = (1,2,0), B=(0,2,3)이라면 A•B = 4입니다. 각 성분끼리 곱한 뒤 더해주면 내적 값을 구할 수 있고, 내적의 결과는 스칼라 값입니다. 따라서 1*0 + 2*2 + 0*3 = 4가 됩니다. 이때 두 벡터간 코싸인 값을 구하고 싶다면 공식 2의 절댓값을좌변으로 넘겨주면 됩니다. 즉, cosθ = A•B / |A|*|B| = 4 / √63이 됩니다.
<외적: Cross product>
벡터의 곱, 즉 외적은 아래 이미지와 같이 구할 수 있습니다.
두번째 줄은 cross product의 각 성분의 값을 구하고, 더하고 빼서 외적의 값을 구하는 과정입니다. 2x2행렬을 취급하니 그 아래줄이 나오는 과정은 간단하게 확인할 수 있습니다.
위와 같이 x성분을 구할때는 수직 수평방향 요소를 빼고 남은 성분들로 2x2성분을 만들어주면 그 값이 그 방향으로의 값이 됩니다. y성분을 구할 때는 부호가 반대인 점만 주의하면 됩니다.
<외적 특징>
외적의 식은 다음과 같습니다.
식에서 n은 외적 결과물이 벡터이기 때문에 외적의 방향을 나타내는 단위벡터입니다. 즉, 방향을 알려주기 위한 것일뿐 그외의 의미를 가지지는 않습니다. (크기가 1이기 떄문에 외적의 크기에 영향을 주지 않는 것과 같이)
내적은 코싸인을 곱했는데 외적은 싸인값을 곱해주는 차이가 있습니다.
그리고 n가 방향을 나타내기 위한 것이라고 했는데, 방향이 원래는 두가지가 다 가능할 수도 있으나 하나의 방향으로 약속을했기 때문입니다.
위 방향일 수도 있고 아래 방향일 수도 있지만 오른손 법칙을 이용하여 AxB의 경우 앞에 있는 A벡터에서 B벡터 방향으로 오른손의 네손가락이 감아쥐도록 했을 때 엄지의 방향이 외적의 방향이 됩니다. 위의 그림에서는 아래 방향이 됩니다.(그림의 a벡터는 지면 또는 화면쪽으로 향하는 방향입니다.)
추가로, 외적은 분배법칙은 성립하지만 교환법칙은 성립하지 않습니다.
참고자료:
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