아래의 좌표계에서 (x,y,z)=(0,0,0)지점에 전자가 하나 있을 때 주변의 전기장 분포는 구의 형태로 나타날 것입니다. 세기가 동일한 지점들이 이루는 면은 구의 표면형태가 됩니다. 구 좌표계는 이러한 상황을 표현하기 위해 사용됩니다.
그림과 같이 r, θ, φ로 표현됩니다.
<위치 벡터 변환>
[직교 -> 구 좌표계]
[구 -> 직교 좌표계]
<단위 벡터 변환>
[직교 -> 구 좌표계]
이 변환은 간단하게 식을 찾기 위해 직관을 이용합니다.
예를 들어, r이 x방향 성분만 갖으려면 x축위에 있으면 될 것입니다. 그러려면 θ는 0이 되야할 것이고 마찬가지로 φ도 0이 되어야 합니다. 이런 식으로 찾아가는 shortcut으로 아래의 식을 구해볼 수 있습니다. θ의 경우 헷갈릴 수 있는데, 지금 생각하는 과정과 같이 shortcut을 이용하는 경우 0도나 90도, 즉 삼각함수에서 가장 특징적인 각도일 때만 고려한다는 점을 염두하면 이해가 쉽습니다.
θ성분을 구할때 θ가 0이면 θ성분방향은 xy평면에 평행해집니다. 90도면 z축방향의 정확히반대가 됩니다.
θ성분을 구할때 φ가 0이면 θ성분방향은 xz평면에 평행해집니다. 위에서 θ가 0이면 xy에도평행인데 φ도 0이면 xz에도 평행해집니다. 즉 x방향 성분만 남게 됩니다.
참고자료:
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